W.G. Leibniz

 W.G. LEIBNIZ (1646-1716).

En Octubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693.

Poco después de acabar sus estudios, Leibniz empezó en 1672 una misión diplomática en Paris donde permanecería unos cuatro años hasta

1676. Allí conoció a numerosos filósofos y miembros de la alta sociedad, en particular al holandés C. Huygens (1629-1695), entonces miembro

de la recién creada Académie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le planteó a Leibniz que hallara la suma de los inversos de los números triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creció su interés en estudiar matemáticas, cuya formación hasta entonces había sido muy escasa. Huygens le recomendó que leyera la renovada edición en latín de

van Schooten de la Géometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. La entrada matemática de Leibniz fue entonces impresionante, ya que

le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684

y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.



El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.

Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos " " y "d" de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.



El cálculo de Leibniz.

Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1,y2,y3,,yn

Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y1+y2+y3+ +yn es una aproximación de la cuadratura de la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas yis da aproximadamente la pendiente de su tangente. Además, cuanto más pequeña sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequeña, entonces las aproximaciones serían exactas, la cuadratura sería igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de ordenadas. De esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes son operaciones inversas la una de la otra.

De esta forma el teorema fundamental del cálculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el área debajo de una curva con ordenadas y, debemos hallar una curva de ordenadas z de tal manera que dz/dx=y, en cuyo caso es también ydx=z.

En la primera notación de sus manuscritos Leibniz escribe

omn•l = y



Donde omn es omnia, que en latín significa suma, y donde l son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su cálculo y la expresión simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesión que empieza por 0 es igual al último término.
Después iría cambiando su notación y escribe la anterior relación como dy=y que es la que usamos actualmente. El signo integral no es más que una S alongada que significa suma.

d(x+y)=dx+dy d(xy)=x   dy+y   dx d( x y )= y  dx2x  dy y2 d(xn)=n xn21  dx etc.

Para demostrar por ejemplo la regla d(xy)=x dy+y dx, calcula la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión producto xy

d(xy)=(x+dx)(y+dy)xy=xdy+ydx+dx dy



Y luego omite la cantidad dx dy por ser infinitamente más pequeña en comparación con los otros términos.

De esta regla Leibniz deduce la integración por partes

x dy=xy y dx



x dy+ y dx=xy


Para probar

d

y x

=

xdyydx x2

escribe

d

y x

=

y+dy x+dx

y x

=

xdy*ydx x2+x dx

y otra vez cancela xdx del denominador por ser pequeño frente a x2. Otra relación es por ejemplo

y dy=

y2 2

Para su prueba, piensa en términos de la función y=x. Tal como se observa en la figura el área del triángulo ABC es la suma de los y dy, para pequeños dy, pero esta área es y2/ 2.




En sus aplicaciones geométricas, dado un punto P=(x,y) sobre una curva, tal como se observa de la figura


Aparecen las llamadas subagente s=TA, tangente t=TP, normal n=PB y subnormal  = AB. Todas estas variables tienen entintad

propia y están relacionadas unas con otras. Por ejemplo se tiene por la semejanza

y s

=

 y

Para cada una de estas variables se pueden considerar también sus diferencias. Si consideramos las diferencias dx y dy, el pequeño

triángulo PQR se llama el triángulo característico y se tiene por ejemplo la relación

dy dx

=

y S

Todo este cálculo y en especial su notación resultó ser muy manejable y de gran utilidad, lo que contribuyó decisivamente a su éxito.

Notación y concepto son virtualmente inseparables. Por ejemplo la regla de la cadena para z=f(y) e y=g(x) que nosotros escribimos como

primero la composición h(x)=f(g(x) y luego

h(x)=f(g(x))g(x)



en su notación diferencial es simplemente

dz dx

=

dz dy

·

dy dx

Aunque desde el punto de vista lógico le falta rigor a esta fórmula simbólica, ya que cancela dy*s como si fueran números reales, no

sólo halla correctamente al resultado sino que sugiere además la manera de demostrarla, reemplazando las diferenciales dx,dy,dz por

incrementos finitos x, y, z y pasando luego al límite.

En realidad Descartes había encontrado prácticamente la naturaleza de esta curva, pero carecía de instrumentos adecuados para su solución.

Este problema y otros que fueron apareciendo después pusieron de manifiesto la potencia del nuevo cálculo.

Isaac Newton

Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado por entonces en Inglaterra, o el 4 de Enero de 1643 con respecto a nuestro calendario Gregoriano. Fue profesor de matemáticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda 

Isaac Newton (1642-1727).

     Sus años más fecundos fueron durante el periodo 1665-1666 cuando cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debido
a la peste bubónica. Newton se recluyó en su casa natal y allí descubrió el Teorema del binomio, el cálculo diferencial e integral, la ley de gravitación universal y la Teoría de los colores. Prácticamente todos los descubrimientos importantes de su vida.
Newton tardó mucho en publicar sus trabajos ya que no le gustaban las controversias y quería evitar la crítica de sus contemporáneos. En
los últimos años de su vida fue miembro del parlamento británico y presidente de la Royal Society y considerado como un tesoro nacional.

Tal como hemos indicado, Newton concibió su cálculo durante los años 1665-1666. Después lo describió en numerosas cartas personales.

Historia del Cálculo Integral

Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.
     Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B₁, de AB. Ahora bien, para llegar a B₁ debe primero pasar por el punto medio B₂ de AB₁. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

      Leucippo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Diagrama de Arquímedes

      Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es ⁴/₃ del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a ²/₃ del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

     Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

     Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

     No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.

     Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xⁿ entre 0 y a era aⁿ⁺¹/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

     Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: ^y/_a = (^x/_b)² generalizada como (^x/_a)ⁿ = (^y/_b)^m.
Hipérbola: ^y/_a = (^b/_x)² generalizada como (^y/_a)ⁿ = (^b/_x)^m.

Al estar examinando ^y/_a = (^x/_b)^p, Fermat calculó la suma de r^p para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método                    esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.
     Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.
     Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una emostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Triángulo de Barrow

      El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

    Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra.
Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ(x,y)=0.

Aquí se pueden ver la Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:

En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xⁿ se convierte en (x + o)ⁿ, es decir, por el método de series infinitas,
xⁿ + nox^n-1 + (nn - n)/2 oox^n-2 + ...

Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.

Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que ^dx/_dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación

∫y dy = y²/2

escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.

Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

Resolviendo Integrales

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Einstein y sus cosas.

Siempre me ha fascinado la rapidez mental que tiene algunos para dar la respuesta exacta y acertada, en el momento preciso, y uno de ellos es Albert Einstein, por eso aquí he recopilado de diferentes sitios de Internet algunas de las replicas mas conocidas del famoso físico.

1.-Un periodista y le pregunta a Einstein“¿Me puede Ud. explicar la Relatividad?” y Einstein le contesta “¿Me puede Ud. explicar cómo se fríe un huevo?”. El periodista lo mira extrañado y le contesta “Pues, sí, sí que puedo”, a lo cual Einstein replica “Bueno, pues hágalo, pero imaginando que yo no sé lo que es un huevo, ni una sartén, ni el aceite, ni el fuego”.

2.-Durante el Nazismo Einstein, a causa de ser judío, debió de soportar una guerra en su contra con el fin de desprestigiar sus investigaciones. Uno de estos intentos se dio cuando se compilaron las opiniones de 100 científicos que contradecían a las de Einstein, editadas en un libro llamado “Cien autores en contra de Einstein”. A esto Einstein respondió: “¿Por qué cien? si estaría errado haría falta solo uno”.

3.-En una conferencia que Einstein dio en el Colegio de Francia, el escritor francés Paul Valery le preguntó: Profesor Einstein, cuando tiene una idea original, ¿qué hace? ¿La anota en un cuaderno o en una hoja suelta? A lo que Einstein respondió: Cuando tengo una idea original no se me olvida.

4.-Einstein tuvo tres nacionalidades: alemana, suiza y estadounidense. Al final de su vida, un periodista le preguntó qué posibles repercusiones habían tenido sobre su fama estos cambios. Einstein respondió: “Si mis teorías hubieran resultado falsas, los estadounidenses dirían que yo era un físico suizo; los suizos, que era un científico alemán; y los alemanes que era un astrónomo judío:”

5.-En 1919, Einstein fue invitado por el inglés lord Haldane a compartir una velada con diferentes personalidades. Entre éstas había un aristócrata muy interesado en los trabajos del físico. Tras una larga conversación, el inglés explicó a Einstein que había perdido recientemente a su mayordomo y que aún no había encontrado un sustituto. “La raya del pantalón la he tenido que hacer yo mismo, y el planchado me ha costado casi dos horas. A lo que Einstein comentó: “Me lo va a decir a mí. ¿Ve usted estas arrugas de mi pantalón? Pues he tardado casi cinco años en conseguirlas.”

6.-En una reunión social Marilyn Monroe se cruzó con Albert Einstein, ésta le sugirió lo siguiente: “Que dice profesor, deberíamos casarnos y tener un hijo juntos. ¿Se imagina un bebe con mi belleza y su inteligencia?”, Einstein muy seriamente le respondió: “Desafortunadamente temo que el experimento salga a la inversa y terminemos con un hijo con mi belleza y su inteligencia”.

7.-Se cuenta que en una reunión social Einstein coincidió con el actor Charles Chaplin. En el transcurso de la conversación, Einstein le dice a Chaplin:- Lo que he admirado siempre de usted es que su arte es universal; todo el mundo le comprende y le admira.A lo que Chaplin respondió: – Lo suyo es mucho más digno de respecto; todo el mundo le admira y prácticamente nadie lo comprende.

Y por último un chiste del cual muchos moriríamos si supiéramos su veracidad.

Se cuenta que en los años 20 cuando Albert Einstein empezaba a ser conocido por su teoría de la relatividad, era con frecuencia solicitado por las universidades para dar conferencias. Dado que no le gustaba conducir y sin embargo el coche le resultaba muy cómodo para sus desplazamientos, contrató los servicios de un chofer.
Después de varios días de viaje, Einstein le comentó al chofer lo aburrido que era repetir lo mismo una y otra vez.
“Si quiere”, le dijo el chofer, “le puedo sustituir por una noche. He oído su conferencia tantas veces que la puedo recitar palabra por palabra.”
Einstein le tomó la palabra y antes de llegar al siguiente lugar, intercambiaron sus ropas y Einstein se puso al volante. Llegaron a la sala donde se iba a celebran la conferencia y como ninguno de los académicos presentes conocía a Einstein, no se descubrió el engaño.
El chofer expuso la conferencia que había oído a repetir tantas veces a Einstein. Al final, un profesor en la audiencia le hizo una pregunta. El chofer no tenía ni idea de cual podía ser la respuesta, sin embargo tuvo un golpe de inspiración y le contesto:
“La pregunta que me hace es tan sencilla que dejaré que mi chofer, que se encuentra al final de la sala, se la responda”.