W.G. LEIBNIZ (1646-1716).
En Octubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693.
Poco después de acabar sus estudios, Leibniz empezó en 1672 una misión diplomática en Paris donde permanecería unos cuatro años hasta
1676. Allí conoció a numerosos filósofos y miembros de la alta sociedad, en particular al holandés C. Huygens (1629-1695), entonces miembro
de la recién creada Académie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le planteó a Leibniz que hallara la suma de los inversos de los números triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creció su interés en estudiar matemáticas, cuya formación hasta entonces había sido muy escasa. Huygens le recomendó que leyera la renovada edición en latín de
van Schooten de la Géometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. La entrada matemática de Leibniz fue entonces impresionante, ya que
le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684
y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.
El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.
Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos " " y "d" de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.
El cálculo de Leibniz.
Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1,y2,y3,,yn
De esta forma el teorema fundamental del cálculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el área debajo de una curva con ordenadas y, debemos hallar una curva de ordenadas z de tal manera que dz/dx=y, en cuyo caso es también ydx=z.
En la primera notación de sus manuscritos Leibniz escribe
omn•l = y
Donde omn es omnia, que en latín significa suma, y donde l son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su cálculo y la expresión simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesión que empieza por 0 es igual al último término.
Después iría cambiando su notación y escribe la anterior relación como dy=y que es la que usamos actualmente. El signo integral no es más que una S alongada que significa suma.
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Para demostrar por ejemplo la regla d(xy)=x dy+y dx, calcula la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión producto xy
d(xy)=(x+dx)(y+dy)xy=xdy+ydx+dx dy
Y luego omite la cantidad dx dy por ser infinitamente más pequeña en comparación con los otros términos.
De esta regla Leibniz deduce la integración por partes
x dy=xy y dx
x dy+ y dx=xy
Para probar
d | y x | = | xdyydx x2 |
escribe
d | y x | = | y+dy x+dx | y x | = | xdy*ydx x2+x dx |
y otra vez cancela xdx del denominador por ser pequeño frente a x2. Otra relación es por ejemplo
y dy= | y2 2 |
Para su prueba, piensa en términos de la función y=x. Tal como se observa en la figura el área del triángulo ABC es la suma de los y dy, para pequeños dy, pero esta área es y2/ 2.
En sus aplicaciones geométricas, dado un punto P=(x,y) sobre una curva, tal como se observa de la figura
Aparecen las llamadas subagente s=TA, tangente t=TP, normal n=PB y subnormal = AB. Todas estas variables tienen entintad
propia y están relacionadas unas con otras. Por ejemplo se tiene por la semejanza
y s | = | y |
Para cada una de estas variables se pueden considerar también sus diferencias. Si consideramos las diferencias dx y dy, el pequeño
triángulo PQR se llama el triángulo característico y se tiene por ejemplo la relación
dy dx | = | y S |
Todo este cálculo y en especial su notación resultó ser muy manejable y de gran utilidad, lo que contribuyó decisivamente a su éxito.
Notación y concepto son virtualmente inseparables. Por ejemplo la regla de la cadena para z=f(y) e y=g(x) que nosotros escribimos como
primero la composición h(x)=f(g(x) y luego
h(x)=f(g(x))g(x)
en su notación diferencial es simplemente
dz dx | = | dz dy | · | dy dx |
Aunque desde el punto de vista lógico le falta rigor a esta fórmula simbólica, ya que cancela dy*s como si fueran números reales, no
sólo halla correctamente al resultado sino que sugiere además la manera de demostrarla, reemplazando las diferenciales dx,dy,dz por
incrementos finitos x, y, z y pasando luego al límite.
En realidad Descartes había encontrado prácticamente la naturaleza de esta curva, pero carecía de instrumentos adecuados para su solución.
Este problema y otros que fueron apareciendo después pusieron de manifiesto la potencia del nuevo cálculo.
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